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黎曼猜想证明现场:阿蒂亚爵士完成演讲(4)

2018-09-28 18:04栏目:通信

  

 

  如果把它展开,你就会发现,黎曼ζ函数长得跟前面奥里斯姆调和级数发的式子差不多。

  

 

  之后,黎曼还定义了两类零点:

  平凡零点:某个三角sin函数的周期零点;

  非平凡零点:ζ函数自身的零点。

  针对非平凡零点,黎曼提出了三个命题:

  第一个命题,黎曼指出了非平凡零点的个数,且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。

  黎曼大神形容“这是不言而喻的普适性的结果”,意思就是“这特么简直是废话,还用说吗?”

  可是地球上的其他人类不这么觉得。46年后,在芬兰数学家梅林和德国数学家蒙戈尔特的努力下,第一个命题终于被证明了。

  第二个命题,黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。

  这个命题,黎曼大神自己证出来了,可是他不说,因为他觉得命题的证明还没有简化到可以发表的程度。

  这些地球上的其他数学家懵逼了:大神你不说就撒手西去了,这得让我们活着的数学家急死啊!

  所以这个黎曼觉得很简单的命题,地球上的其他数学家至今还处在一脸懵逼的状态中。

  第三个命题,黎曼不像前两个那么确定了,他用十分谨慎的语气写到:很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线,从此被称为临界线。

  注意,黎曼猜想终于出现了!就是这第三个命题。

  

 

  从此,黎曼猜想就开始折磨数学家们:到底能不能证明?能证明还是证伪?什么时候才能证明?

  数学家们纠结到什么程度呢?

  如果能穿越到500年后,德国数学家希尔伯特醒来的第一句话就是:黎曼猜想被证明还是证伪了?

  美国数学家蒙哥马利也说,如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明,多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。

  黎曼猜想,简直是数学界の终极奥义。

  后世数学家的烧脑历史

  虽然黎曼猜想很难证明,不过别忘了前面的第二个命题,他自己证明了,还不说,黎曼大神可是一个喜欢藏着掖着的人啊!

  于是后世数学家们就开始扒拉黎曼遗留的手稿。

  万万没想到,黎曼大神自己谨慎到证明没简化就不发,可是黎曼大神的管家是个粗心汉。他想都没想,就把主子遗留的手稿给烧了。

  

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  不过,好歹黎曼的遗孀是个聪明人,她看管家犯傻,就赶紧去抢救了一部分手稿出来,送给了黎曼生前好友、另一位数学家戴德金。

  可是送过去之后,黎曼夫人后悔了:万一那些手稿里有黎曼给我写的情书呢?

  她就找戴德金把大部分手稿要回来了,剩下的被戴德金献给了哥根廷大学图书馆。

  因为天才的思路普通人往往跟不上,这些手稿看起来很难懂。不过,关于手稿的故事我们告一段落,后面它会发挥巨大的价值。

  下面,则是历代数学家们一步步靠近黎曼猜想真理的过程。

  阿达马与普森

  黎曼去世30年后,法国数学家雅克·阿达马和英国天文学家诺曼·普森两位也不约而同了一下,他们几乎同时证明了ζ(s)的所有非平凡零点的实部均小于1,即Re(s)=1上无非平凡零点。

  所以这也就是素数定理。

  玻尔与兰道

  时间走到了一战爆发那年。

  丹麦数学家哈拉尔德·玻尔和德国数论家爱德蒙·兰道开始了一场合作,证明了玻尔-兰道定理:

  含有临界线的任意带状区域都几乎包含了ζ的所有非平凡零点,表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。

  零点现世

  黎曼一直在讲“零点”。

  可是,他要的零点在哪儿?没人知道。

  1903年,丹麦数学家第一次算出了前15个非平凡零点的具体数值。在黎曼猜想公布44年后,人们终于看到了零点的模样。

  毫无意外的是,这些零点的实部全部都是0.5。

  哈代与利特尔伍德

  1921年,英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为KT。

  四年后,两人还算出前138个零点,这基本达到了人类计算能力的极限。

  沉迷手稿的西格尔

  还记得前面的手稿么?终于有人看明白啦!

  1932年,德国数学家西格尔(Siegel)在手稿中发现了一个被尘封了73年的公式:

  

来自维基百科截图六合资料大全

 

  来自维基百科截图  这个公式表明,黎曼当年发表第三命题不是拍脑门瞎说的,而是经过了深刻的思考和计算。为了纪念西格尔对手稿的辛苦挖掘,这个公司后来被叫做黎曼-西格尔公式。

  利用黎曼-西格尔公式,后来的数学家们就可以开心的找零点了。

  挪威数学家塞尔伯格(Selberg)证明了临界线上的零点个数占全部非平凡零点个数的比例大于零,这意味着临界线上的零点在全部零点的分布中举足轻重。

  之后,美国数学家莱文森(Levinson)引入了独特的方法,证明临界线的零点占全部零点的比例达到了34.74%。

  基于莱文森的技巧,美国数学家康瑞(Conrey)在1989年把比例推进到了40%,这也是迄今为止得到的最好结果。

  本段内容部分参考中国科学院数学与系统科学研究院黄逸文的《黎曼猜想》一文。

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